Как обозначать точки на числовой окружности? Числовая окружность.

На тригонометрическом круге помимо углов в градусы мы наблюдаем .

Подробнее про радианы:

Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна , то очевидно, что в окружности укладывается радиан, то есть

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Все знают, что радиан – это

Так вот, например, , а . Так, мы научились переводить радианы в углы .

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы .

Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет . Поступаем следующим образом:

Так как, радиан, то заполним таблицу:

Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.

А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его в начале координат. Почему?

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после или – это аргумент=угол, а углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов , значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.

Пример 1.

Найти значение .

Решение:

Находим на круге . Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки к оси синусов (оу)).

Приходим в 0. Значит, .

Пример 2.

Найти значение .

Решение:

Находим на круге (проходим против часовой стрелки и еще ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).

Попадаем в -1 по оси синусов.

Заметим, за точкой «скрываются» такие точки, как (мы могли бы пойти в точку, помеченную как , по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), и бесконечно много других.

Можно привести такую аналогию:

Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.

Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м. Или пробежав, скажем, 100м по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).

А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д. по часовой стрелке от «старт».

Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например, значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.

Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.

Скажем, углы , , , и т.д. изображаются одной точкой. И значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали или ? Это период для функции синус и косинус.)

Пример 3.

Найти значение .

Решение:

Переведем для простоты в градусы

(позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):

Двигаться будем по часовой стрелки от точки Пройдем полкруга () и еще

Понимаем, что значение синуса совпадает со значением синуса и равняется

Заметим, если б мы взяли, например, или и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.

Пример 4.

Найти значение .

Решение:

Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.

То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).

Пример 5.

Найти значение .

Решение:

Как отложить на тригонометрическом круге ?

Если мы пройдем или , да хоть , мы все равно окажемся в точке, которую мы обозначили как «старт». Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге

Пример 6.

Найти значение .

Решение:

Мы окажемся в точке ( приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем точку круга на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в . То есть .

Тригонометрический круг – у вас в руках

Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками. А «цепочку-лесенку» значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.

Как находить значения тангенса и котангенса основных углов .

После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти

На пустой шаблон круга. Тренируйтесь!

(10-й класс)

Цель. Показать учащимся приём построения “табличных” и связанных с ними углов без транспортира. Научить записывать значения углов, соответствующих указанным точкам единичной окружности.

Оборудование.

1. Модель единичной окружности (плакат).
2. Плакат единичной окружности, где показаны приёмы построения “табличных” углов.
3. Карточки самостоятельных работ.
4. Карточки с домашними заданиями.
5. Карточки – “считалочки”.
6. Геометрические инструменты.
7. Фломастеры, цветной мел.
8. Кодоскоп.

I. Организационный момент.

Постановка цели, мотивация учения.

Чтобы лучше понять и запомнить расположение точек на единичной окружности, мы познакомимся с приёмами построения “табличных” (30°, 45°, 60°) и связанных с ними углов без транспортира. Это позволит в дальнейшем не только легче освоить радианную меру угла, но и быстрее находить значения тригонометрических функций, хорошо решать простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, системы.

II. Новый материал.

(фронтальная форма учебной работы)

1.1. Начертите на определённых листах и на доске координатную плоскость и окружность с центром в начале координат радиусом равным 1.

1.2. Определение единичной окружности (учащиеся)

1.3. Понятие узловых точек (пересечения единичной окружности и осей координат)

2.1. Отметим угловые точки на единичной окружности и запишем соответствующие им углы (0°, 90°, 180°, 360°)

(учащиеся работают у доски и на своих моделях единичной окружности).

Положительные углы против хода часовой стрелки (одним цветом).

Отрицательные углы – по часовой стрелке (другим цветом).

Все углы записываем внутри окружности.

3.1. Как построить точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°?

(делением пополам координатных углов).

3.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем на отдельно приготовленном плакате рассказывают приём построение точек, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.

3.3. Данный приём применяется к единичной окружности на доске и к своим моделям. Отмечают точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.

4.1. Как построить точки соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°?

(делением пополам вертикальных радиусов).

4.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют построение данных углов.

4.3. На демонстрационной модели и своих моделях единичных окружностей отмечают точки, соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°.

5.1. Как построить точки соответствующие углам 60°, 120°, 240°, 300°?

(делением пополам горизонтальных радиусов).

5.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют приём построения данных углов

5.3. Учащиеся отмечают данные углы на демонстрационной модели и на своих моделях, используя предложенный приём.

6.1. Выразим в радианной мере величины углов

6.2. Около каждой из отмеченных точек единичной окружности запишем им соответствующие углы в радианах. (Вычисления на доске. Пример.)

(неотрицательные числа пишем одним цветом, а отрицательные другим).

7.1. Запоминанию данных углов помогает “Считалка”.

(карточки со “ Считалками” разложены на ученических столах перед началом урока).

а) “Ра пи на два” (/2)

“Два пи на два” ()

“Три пи на два” (3/2)

б) “Раз пи на четыре” (/4)

“Два пи на четыре” (2/4)

“Три пи на четыре” (3/4)

8. Запись углов, соответствующих одной точке единичной окружности

Пусть на окружности дана точка Р, которая получается повтором точки Р 0 на угол .

При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем на исходную точку Р. Значит, точке Р наравне с числом соответствует любое число вида +2п , п ЄZ.

На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам, запишите все такие углы, используя градусную меру и радианную.

0 =45 0 , любой другой угол отличается от угла 0 на 360 0 п , п ЄZ.

III. Проверка усвоения изученного.

(самостоятельная работа)

Для всех учащихся карточки с заданиями самостоятельной работы (записываем только ответы).

Самостоятельная работа.

1.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 0 до 360 0 . Выразите углы и в градусах.

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите углы и , в радианах

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ - величина угла.

• Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
• Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус - прилежащего катета к гипотенузе).

Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть - это дуга AB

вторая четверть - дуга BC

третья четверть - дуга CD

четвертая четверть - дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .

Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y .

Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.

Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) - то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n , то получим новое выражение:
t = t + 2πn .

Отсюда формула: