Умножение десятичной дроби на натуральное число. Урок «Умножение десятичных дробей на натуральные числа
Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями , сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.
Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .
Навигация по странице.
Общие принципы умножения десятичных дробей
Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.
Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей . Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные .
Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.
Пример.
Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .
Решение.
Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то . Можно провести сокращение дроби , после чего выделить целую часть из неправильной дроби , а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .
Ответ:
1,5·0,75=1,125 .
Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в .
Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.
Пример.
Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .
Решение.
Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:
Тогда . Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь :
Ответ:
0,(3)·2,(36)=0,(78) .
Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.
Пример.
Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .
Решение.
Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .
Ответ:
5,382…·0,2≈1,076 .
Умножение десятичных дробей столбиком
Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел .
Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:
- не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
- в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.
Пример.
Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .
Решение.
Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:
Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4
цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37
и два в дроби 0,12
). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:
В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .
Ответ:
3,37·0,12=7,6044 .
Пример.
Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .
Решение.
Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:
Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7
цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8
цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:
На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.
Ответ:
3,2601·0,0254=0,08280654 .
Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.
Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.
Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.
Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .
Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .
Умножение десятичной дроби на натуральное число
По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.
Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.
Пример.
Вычислите произведение 15·2,27 .
Решение.
Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:
Ответ:
15·2,27=34,05 .
При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.
Пример.
Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .
Решение.
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:
Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .
Ответ:
0,(42)·22=9,(3) .
А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.
Пример.
Выполните умножение 4·2,145… .
Решение.
Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .
Ответ:
4·2,145…≈8,60 .
Умножение десятичной дроби на 10, 100, …
Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.
Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.
Пример.
Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .
Решение.
Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .
Ответ:
0,0783·100=7,83 .
Пример.
Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .
Решение.
Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .
§ 1 Понятие произведения десятичной дроби на натуральное число
В этом уроке Вы научитесь умножать десятичные дроби на натуральные числа, и узнаете, как можно быстро умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.
Для начала давайте решим следующую задачу:
Стоимость одной тетради составляет 12,3 рубля.
Сколько нужно заплатить за три таких тетради?
12,3 + 12,3 + 12,3 = 36,9
Значит 36,9 рубля надо заплатить за эту покупку.
Такую сумму из одинаковых слагаемых называют произведением двенадцати целых трех десятых на натуральное число 3.
Произведением десятичной дроби на натуральное число называют сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно натуральному числу.
§ 2 Правило умножения десятичной дроби на натуральное число
Значение произведения 12,3 на 3 можно найти иначе.
Заметим, что произведение 123 на 3 равно 369, и произведение 12,3 на 3 равно 36,9. Обратим внимание, что после запятой в десятичной дроби стоит один знак, и в полученном произведении после запятой тоже один знак. Мы умножили 12,3 на 3, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделили запятой справа один знак, потому что в десятичной дроби стоит один знак после запятой.
Таким образом, получили правило:
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1: перемножить числа, не обращая внимания на запятую;
2: в полученном произведении справа отделить запятой столько знаков, сколько знаков после запятой находится в десятичной дроби.
§ 3 Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Давайте выполним несколько примеров:
1,2 умножить на 6, т.е. 12 умножаем на 6, получаем 72, и справа отделим запятой один знак, получим 7,2.
Другой пример: 0,02 умножить на 15, т.е. 2 умножаем на 15, получится 30, отсчитываем справа два знака и ставим запятую, получится 0,30 или 0,3.
А теперь давайте умножим 1,2 на 10. Получаем 12 умножить на 10, т.е. 120, отделим запятой один знак справа, будет 12,0 или же 12. Заметили, что запятая перескочила на один знак вправо?
А если же 1,234 умножить на 100? Получаем 1234 умножить на 100, будет 123 400, отделим запятой справа три цифры и запишем ответ 123,400 или 123,4. На сколько знаков вправо переместилась запятая после умножения на 100? Правильно, на 2 знака!
В последних примерах мы рассмотрели умножение десятичных дробей на 10 и 100. И увидели закономерность, что запятая переносится вправо на один или два знака. Таким образом, можно сформулировать следующее правило, отличное от правила умножения десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы десятичную дробь умножить на 10, 100, 1000 и т.д., необходимо перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы. Если же нулей больше, чем знаков после запятой в десятичной дроби, то нужно приписать недостающие нули.
Например: 0,065 умножить на 100, после 1 стоит 2 нуля, значит переносим запятую вправо на 2 знака, получаем 6,5.
Другой пример: 2,9 умножить на 1000, для переноса запятой вправо не хватает знаков, поэтому добавим нули, т.е. 2,900 умножить на 1000, переносим запятую на три знака вправо, получим 2900 .
Итак, Вы научились умножать десятичную дробь на натуральное число. Как видите, это достаточно просто, нужно перемножить числа и отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в десятичной дроби.
А еще Вы теперь знаете, как легко и быстро можно умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т. д. с помощью переноса запятой вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после 1.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009
Долгожданный дан звонок.
Начинается урок.
Сегодня будем мы опять
Решать, отгадывать, смекать!
Покажите мне и гостям, с каким настроением вы пришли на урок.
Постараемся в ходе урока его улучшить.
Ребята! Я рада вас видеть сегодня на уроке в хорошем настроении.
Посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь, глазками пожелайте товарищу хорошего рабочего настроения.
Я тоже вам желаю сегодня хорошей работы.
Ребята! Над какой темой мы работаем?
А что мы знаем об этой теме?
И что это значит?
Что же еще вы знаете?
Сформулируйте его.
Еще можете что-то дополнить о знаниях по данной теме?
И как же это надо делать?
Молодцы, ребята!
А сейчас мы посмотрим, как вы это умеете делать, как применяете правила. (См. Презентацию, слайд № 2 и 3)
Разгадайте анаграмму и исключите лишнее слово.
(См. Презентацию, слайд № 4 и 5)
Какое из этих слов вы считаете лишним?
А почему? Как вы думаете?
Молодцы, ребята!
Запомните, как правильно пишутся эти термины.
Ребята! Как вы думаете, все ли мы виды заданий порешали по этой теме?
Мы продолжаем закрепление темы “Умножение десятичной дроби на натуральное число”.
Определим цели урока.
С чего начнем?
Какими будут следующие шаги?
ПИ
ЗУ
ЗЗ
1. Решение примера самостоятельно в парах с взаимопроверкой
(См. Презентацию, слайд № 6)
2...Решение задачи: Нюша съела 3 кусочка торта по 0,65 кг в каждом, а Бараш- 10 порций торта, по 0,84 кг в каждой. Сколько торта они съели? На сколько больше торта съел Бараш, чем Нюша? См. Презентацию, слайд № 7)
Просмотрим решение задачи и сравним его со своим.
См. Презентацию, слайд № 8)
3.Занимательная страничка - задача
Решение задачи на сообразительность
См. Презентацию, слайд № 9-11)
4.Решение уравнений самостоятельно (2 по выбору) с самопроверкой ответа и решения по презентации
См. Презентацию, слайд № 12 - 15)
Давайте немножко взбодрим наше тело. Встаньте, пожалуйста, около своих парт и повторяйте за мной:
Руки подняли и помахали
Это деревья шумят.
В стороны руки и помахали
Это к нам птицы летят.
Быстро присели, руки сложили
В норке зверюшки сидят.
Встали и тихо за парты все сели.
Дети учиться хотят.
Работа в группах
Задание: Решить примеры устно и поставить в соответствие нужный ответ.
Раздать лист с заданием каждой группе. Задания одинаковые.
Проверка выполненного задания.
См. Презентацию, слайд № 16)
Подведем итоги сегодняшнего урока.
Полностью ли реализован нами план?
Соответствовала ли наша работа целям урока?
Что вы ожидали от сегодняшнего урока?
Что вызвало трудности?
Были ли задания, которые вы делали с удовольствием?
Какие знания, полученные ранее, нужны были сегодня на уроке?
А как вы считаете, знания, полученные сегодня на уроке, будут вам необходимы на следующих уроках.
Вы поставите «оценку» своему
Настроению в конце урока.
Оценки за урок.
Запишите в дневник домашнее задание:
П.134(повторить правила),
Дифференцированное задание
В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100 , 10 и др.)
В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.
Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.
Посмотрим, как решаются такие задачи.
Пример 1
Вычислите произведение 1 , 5 и 0 , 75 .
Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0 , 75 – это 75 / 100 , а 1 , 5 – это 15 10 . Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 125 1000 мы запишем как 1 , 125 .
Ответ: 1 , 125 .
Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.
Пример 2
Умножьте одну периодическую дробь 0 , (3) на другую 2 , (36) .
Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Следовательно, 0 , (3) · 2 , (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .
Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Ответ: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.
Пример 3
Вычислите произведение 5 , 382 … и 0 , 2 .
Решение
У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5 , 38 · 0 , 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1 , 076 .
Ответ: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .
Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:
Определение 1
Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:
1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.
2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.
Разберем примеры таких расчетов на практике.
Пример 4
Умножьте десятичные дроби 63 , 37 и 0 , 12 столбиком.
Решение
Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.
Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4 . Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:
Ответ: 3 , 37 · 0 , 12 = 7 , 6044 .
Пример 5
Подсчитайте, сколько будет 3 , 2601 умножить на 0 , 0254 .
Решение
Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:
Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:
Ответ: 3 , 2601 · 0 , 0254 = 0 , 08280654 .
Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д
Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:
Определение 2
Если мы умножим десятичную дробь на 0 , 1 , 0 , 01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.
Так, для умножения 45 , 34 на 0 , 1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4 , 534 .
Пример 6
Умножьте 9 , 4 на 0 , 0001 .
Решение
Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9 , 4 · 0 , 0001 = 0 , 00094 .
Ответ: 0 , 00094 .
Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0 , (18) · 0 , 01 = 0 , 00 (18) или 94 , 938 … · 0 , 1 = 9 , 4938 … . и др.
Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.
Пример 7
Подсчитайте, сколько будет 15 · 2 , 27 .
Решение
Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.
Ответ: 15 · 2 , 27 = 34 , 05 .
Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.
Пример 8
Вычислите произведение 0 , (42) и 22 .
Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0 , 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9 , (3) .
Ответ: 0 , (42) · 22 = 9 , (3) .
Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.
Пример 9
Вычислите, сколько будет 4 · 2 , 145 … .
Решение
Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:
4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .
Ответ: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .
Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др
Умножение десятичной дроби на 10 , 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:
Определение 3
Чтобы умножить десятичную дробь на 1000 , 100 , 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3 , 2 , 1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.
Покажем на примере, как именно это делать.
Пример 10
Выполните умножение 100 и 0 , 0783 .
Решение
Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007 , 83 Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7 , 38 .
Ответ: 0 , 0783 · 100 = 7 , 83 .
Пример 11
Умножьте 0 , 02 на 10 тысяч.
Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0 . В итоге получилось 0 , 02000 ,перенесем запятую и получим 00200 , 0 . Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200 .
Ответ: 0 , 02 · 10 000 = 200 .
Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.
Пример 12
Вычислите произведение 5 , 32 (672) на 1 000 .
Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5 , 32672672672 … , так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326 , 726726 … Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326 , (726) .
Ответ: 5 , 32 (672) · 1 000 = 5 326 , (726) .
Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.
Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.
Пример 13
Умножьте 0 , 4 на 3 5 6
Решение
Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .
Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1 , 5 (3) .
Ответ: 1 , 5 (3) .
Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.
Пример 14
Вычислите произведение 3 , 5678 . . . · 2 3
Решение
Второй множитель мы можем представить как 2 3 = 0 , 6666 …. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3 , 568 и 0 , 667 . Посчитаем столбиком и получим ответ:
Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2 , 379856 ≈ 2 , 380 .
Ответ: 3 , 5678 . . . · 2 3 ≈ 2 , 380
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36). Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1, надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434, то есть, 54,34·0,1=5,434.
На первый взгляд умножение десятичных дробей может показаться сложным, но если вы умеете умножать целые числа, то и с дробями особых проблем не возникнет. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей. В первом числе после запятой две цифры, во втором - одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.
Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38. Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости.
Как умножать десятичные дроби
Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093.
Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях. Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38. Таким образом, 0,0783·100=7,83. Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672…, это нам позволит не допустить ошибки.
Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726). Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.
Записи вида 5/8, 4/5, 2/4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей. Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь – число, у которого числитель больше знаменателя. Что касается десятичных дробей, то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями.
Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Причем умножение дробей с разными знаменателями не отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу.
Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать. Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.
Вопрос о том, как умножать дроби задает себе не только школьник. Для того, чтобы перемножить между собой эти две дроби достаточно перемножить между собой числители и знаменатели. Дробь называется неправильной.
Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. 1) Умножаем, не обращая внимания на запятую. Чтобы умножить 0,02 на 10 000, нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо.
Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная.
2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. Умножаем 12 на 1, получаем 12. Затем считаем количество цифр после запятой в обеих дробях. Пример. Представить дробь 721/1000 в десятичной записи.
