В римской системе счисления для обозначения чисел. Различные системы счисления и натуральные числа
| Планирование уроков и материалы к урокам | 6 классы | Материал для любознательных | Римская система счисления
Материал
для любознательных
Римская система счисления
Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.
Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 - вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:
Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum - сто, Demimille - половина тысячи, Mille - тысяча).
Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.
Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.
Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI - число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII =10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Десятичное число 99 имеет такое представление: XCIX = (-10 + 100) (- 1 + 10).
То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:
MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.
Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.
В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:
Эта таблица позволяет записать любое целое число от 1 до 3999. Чтобы это сделать, сначала запишите свое число, как обычно (в десятичной системе). Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующие кодовые группы.
Для того чтобы записать числа, большие 3999, применяют специальные правила, но знакомство с ними выхо¬дит за рамки нашего курса.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).
Римская система счисления сегодня используется в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
Римская система счисления была распространена в Европе в Средневековье, однако, в связи с тем, что она оказалась неудобной в использовании, сегодня она практически не применяется. Ее вытеснили более простые которые сделали арифметику гораздо более простой и легкой.
За основу в римской системе взяты десять, а также их половины. В прошлом у человека не было необходимости в записи больших и длинных чисел, поэтому комплект базисных цифр первоначально заканчивался на тысяче. Цифры записываются слева направо, а их сумма и обозначает заданное число.
Главное отличие заключается в том, что римская система счисления является непозиционной. Это означает то, что расположение цифры в записи числа не указывает на ее значение. Римская цифра «1» записывается как «I». А теперь поставим две единицы вместе и посмотрим на их значение: «II» - это как раз и есть римская цифра 2, в то время как «11» записывается в римском исчислении как «XI». Кроме единицы другими базисными цифрами в ней считаются пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот и тысяча, которые обозначаются соответственно V, X, L, C, D и М.
В десятичной системе, которую мы используем сегодня, в числе 1756 первая цифра относится к количеству тысяч, вторая - сотен, третья - десятков, а четвертая означает количество единиц. Поэтому она и называется позиционной системой, а вычисления с ее использованием осуществляются прибавлением соответствующих разрядов друг к другу. Римская устроена совсем по-другому: в ней значение целой цифры не зависит от ее порядка в записи числа. Для того чтобы, например, перевести число 168 нужно учитывать, что все числа в ней получаются из базисных символов: если цифра слева больше цифры справа, то эти цифры отнимаются, в другом случае - складываются. Таким образом, 168 будет в ней записано как CLXVIII (C-100, LX - 60, VIII - 8). Как видите, римская система счисления предлагает достаточно громоздкую запись чисел, что делает крайне неудобными сложение и вычитание больших чисел, не говоря уже о проведении над ними операций деления и умножения. Римская система имеет и еще один существенный недостаток, а именно отсутствие нуля. Поэтому в наше время она используется исключительно для обозначения глав в книгах, нумерации столетий, торжественных дат, где отсутствует необходимость в осуществлении арифметических действий.
В повседневной жизни гораздо легче использовать десятичную систему, значение цифр в которой соотносится с количеством углов в каждой из них. Она впервые появилась в VI столетии в Индии, а символы в ней окончательно закрепились только к XVI веку. В Европу индийские цифры, под названием арабских, проникли благодаря работам известного математика Фибоначчи. Для разделения целой и дробной части в арабской системе используется запятая или точка. А вот в вычислительных машинах чаще всего применяется которая распространилась в Европе благодаря работам Лейбница, что связано с тем, что в компьютерной технике используются триггеры, которые могут находиться только в двух рабочих положениях.
Основные понятия систем счисления
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
где S - основание системы счисления;
Цифры числа, записанного в данной системе счисления;
n - количество разрядов числа.
Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:
Виды систем счисления
Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.
Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления
III |
||||
VII |
VIII |
|||
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.
Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.
Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.
Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
001 |
|||
010 |
|||
011 |
|||
100 |
|||
101 |
|||
110 |
|||
111 |
|||
1000 |
|||
1001 |
|||
1010 |
|||
1011 |
|||
1100 |
|||
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
1110 |
|||
1111 |
|||
10000 |
Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
n (степень) |
|||||||||||
1024 |
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
n (степень) |
Цифры
Число | Римское обозначение |
---|---|
1 | I |
5 | V |
10 | X |
50 | L |
100 | C |
500 | D |
1000 | M |
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
М ы D арим С очные L имоны, Х ватит V сем I х.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
Примеры
Число | Римское обозначение |
---|---|
0 | отсутствует |
4 | IV (иногда IIII) |
8 | VIII |
9 | IX |
31 | XXXI |
46 | XLVI |
99 | IC |
666 | DCLXVI |
1668 | MDCLXVIII |
1989 | MCMLXXXIX |
3999 | MMMCMXCIX |
2009 | MMIX |
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV . Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII - в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: V M = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
- 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 - MIM вместо MCMXCIX
- 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
- 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 - MLM вместо MCML
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке , до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV» , главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Применение
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.
- Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
- Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
- Номер тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав).
- В некоторых изданиях - номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
- Маркировка циферблатов часов «под старину».
- Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война , XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Расширение
Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы [кто? ] расширенные римские цифры .
Юникод
Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms ), в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ . Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ ), поздней формы записи 6 (ↅ , похожей на греческую стигму : Ϛ ), ранней формы записи числа 50 (ↆ , похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥ ), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ .
Код | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Значение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 50 | 100 | 500 | 1 000 |
U+2160 | Ⅰ
2160 |
Ⅱ
2161 |
Ⅲ
2162 |
Ⅳ
2163 |
Ⅴ
2164 |
Ⅵ
2165 |
Ⅶ
2166 |
Ⅷ
2167 |
Ⅸ
2168 |
Ⅹ
2169 |
Ⅺ
216A |
Ⅻ
216B |
Ⅼ
216C |
Ⅽ
216D |
Ⅾ
216E |
Ⅿ
216F |
U+2170 | ⅰ
2170 |
ⅱ
2171 |
ⅲ
2172 |
ⅳ
2173 |
ⅴ
2174 |
ⅵ
2175 |
ⅶ
2176 |
ⅷ
2177 |
ⅸ
2178 |
ⅹ
2179 |
ⅺ
217A |
ⅻ
217B |
ⅼ
217C |
ⅽ
217D |
ⅾ
217E |
ⅿ
217F |
Значение | 1 000 | 5 000 | 10 000 | – | – | 6 | 50 | 50 000 | 100 000 | |||||||
U+2160! U+2180 | ↀ
2180 |
ↁ
2181 |
ↂ
2182 |
Ↄ | ↄ | ↄ | ↄ | ↄ | ↄ |
Символы в диапазоне U+2160-217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и