Является ли преобразование подобия движением. И

Подобием μ называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в r>0 раз: .

При условии r=1 это движение.

Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия .

Теорема : Если даны прямоугольные декартовы реперы , то единственное подобие μ, которое осуществляет перевод

Как и для движений можно показать, что и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из теоремы следует, что:

Прямые переходят в прямые,

Углы между линиями сохраняются,

Все расстояния изменяются в r раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия G(μ) называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

Сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

Изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в r 2 раз, где r – коэффициент подобия.

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия r.

1.Строим треугольник, у которого:

Основание равно нашему периметру,

Углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);

2. Можно определить новый периметр K, исходный периметр и сторона AB известны.

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем .

3. Откладываем от точки и получаем , аналогично от точки и получаем . Строим углы a и b, и получаем нужный нам треугольник .

Презентация по геометрии на тему «Подобие пространственных фигур» Подготовил Ученик 10 «Б» класса Куприянов Артем

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X", У фигуры F", в которые они переходят, X"Y" = k * XY . Определение: Преобразование подобия в пространстве Фигура называется подобной фигуре F , если существует подобие пространства, отображающая фигуру F на фигуру Определение:

Свойства подобия 1) При подобии прямые переходят в прямые, плоскости, отрезки и лучи отображаются также в плоскости, отрезки и лучи соответственно. 2) При подобии сохраняется величина угла (плоского и двухгранного), параллельные прямые(плоскости) отображаются как параллельные прямые (плоскости), перпендикулярная прямая и плоскость – на перпендикулярные прямую и плоскость. 3) Из сказанного выше следует, что подобном преобразовании подобия пространства образом любой фигуры является «похожая» на нее фигура, то есть фигура, имеющая такую же форму, что и отображаемая (данная) фигура, но отличающаяся от данной лишь своими «размерами»

Основные свойства подобных фигур Свойство транзитивности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 и фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигура F1 подобна фигуре F3. Свойство симметричности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 , то и фигура F2 подобна фигуре F1 Свойство рефлективности. Фигура подобна сама себе при коэффициенте подобия, равном 1 (при k=1)

Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия) Три свойства отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества – попарно непересекающиеся классы подобных между собой фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов. Множество кубов Пример: Множество правильных тетраэдров

Гомотетия - один из видов преобразований подобия. Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ’ , что = k Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают При k=1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при k=-1 – центральной симметрией с центром а центре гомотетии

Примеры гомотетии с центром в точке О

Формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k Свойства гомотетии 1) При гомотетии величина плоского и двухгранного угла сохраняется 2) При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в 3) Отношение площадей гомотетических фигур равно квадрату коэффициента гомотетии. 4) Отношение объемов гомотетических фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии 5) Гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации пространства, а с отрицательным коэффициентом – меняет.

6 свойство (с доказательством) Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Действительно, пусть О - центр гомотетии и α - любая плоскость, не проходящая через О. Возьмем любую прямую АВ в плоскости α . Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А" на луче OA , а точку В в точку В ’ на луче OB, причем - коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А"ОВ ’ . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА"В" , а значит, параллельность прямых АВ и А"В". Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А"С". При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость " проходящую через прямые А"В", А"С. Так как А"В‘ ll АВ и А ’ С ’ ll АС, то по признаку параллельности плоскостей плоскости и параллельны, что и требовалось доказать. Дано α O – центр гомотетии Доказать α II α ’ Доказательство

Кино в кинотеатрах

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры F в фигуру F" называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X", Y" фигуры F", то X"Y" = k-XY, причем число k -- одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F -- данная фигура и О -- фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k?OX, где k -- положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О -- центр гомотетии, k -- коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k?OX, OY" = k?OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX).

Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х" Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:

преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …

преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas

См Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь

преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь

Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь

преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика

Замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия

Я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь