Формула бинома ньютона примеры решения.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Блез Паскаль (1623- 1662).

Исаак Ньютон (1643-1727).

Треугольник Паскаля.

Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы - великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона - формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \((a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \((a+b)^2 \) и «куба суммы» \((a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал - произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \(1*2*3*\ldots*n \) - обозначается n!, например, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют a n и b n с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов - «треугольник Паскаля».

Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \((a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\((a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними - сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними - суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а) n = х n + n/1(ax n-1) + (а 2 х n-2) + …(a n x n-m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:

(х + а) n = ∑ m (!x n-m a m

Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a 1)(х + а 2)…(х + а n) = х n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

где S n 1 есть сумма данных количеств a 1 , a 2 . . . а n , S n 2 сумма произведений их по два, - S n n произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + а n+1 , получим прямым умножением

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = х n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n-1)x n-1 + … + S n n a n

и в то же время очевидно, что

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 х n-1 + … + (S n+1) n+1

и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а , тогда:

S 2 = а 2 …

и получим (х + а) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx + + x 3 + …

Для n целого оно равно (1 + x) n . Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны - выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n 1)f(n 2).. . f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); полагая n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … и т. д.

• - двучлен, сумма или разность двух алгеб-раич. выражений, называемых членами Б., напр. , и т. д. О степенях Б., то есть выражениях да, см. Ньютона бином...

  Математическая энциклопедия

• - алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности двух количеств, например ахm +...
• - алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: n = хn + n/1 + + … + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - и лат. nomen - имя) двучлен, сумма или разность двух алгебраических выражений, называемых членами Б.; например a + b, и т.д. О степенях Б., то есть выражениях вида n, см. Ньютона бином...
• - название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых, а именно: где n - целое положительное число, а и b - какие угодно...

  Большая Советская энциклопедия

• - название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени...

  Энциклопедия Кольера

• - то же, что двучлен. О биноме вида n см. в ст. Ньютона бином...
• - формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами...

  Большой энциклопедический словарь

• - Заимств. в первой половине XIX в. из франц. яз., где binôme - сложение лат. bi и греч. nomē «часть, доля». Ср. словообразовательную кальку этого слова - двучлен...

  Этимологический словарь русского языка

• - Из романа «Мастер и Маргарита» Михаила Афанасьевича Булгакова. Слова Коровьева-Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым...

  Словарь крылатых слов и выражений

• - ; мн. бино/мы, Р....

  Орфографический словарь русского языка

• - муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина...

  Толковый словарь Даля

• - БИНО́М, -а, муж. В математике: двучлен...

  Толковый словарь Ожегова

• - бино́м м. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность двух одночленов; двучлен...

  Толковый словарь Ефремовой

• - Разг. Шутл. О чём-л. сложном, запутанном. Елистратов, 41...

  Большой словарь русских поговорок

• - БИНОМ, -а, м. . Ирон. О чем-л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита»...

  Словарь русского арго

"Бином Ньютона" в книгах

От Кеплера до Ньютона