Числа. Сложение натуральных чисел

Это действие над двумя числами, результатом которого является новое натуральное число, получаемое увеличением значения одного числа на значение другого числа.

Сложить два натуральных числа - значит к первому числу присчитать столько единиц, сколько их содержится во втором числе.

Пример 1. Мама принесла домой несколько яблок в двух пакетах. В одном пакете было 3 яблока, а во втором - 2. Сколько всего яблок мама принесла домой?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо при доставании яблок из пакетов одновременно их пересчитать, например, выкладывая яблоки из первого пакета, говорить: одно, два, три, а затем, вынимая яблоки из второго пакета, продолжать: четыре, пять. Значит, всего 5 яблок.

Перечисляя яблоки, мы к числу яблок из первого пакета прибавили число яблок из второго и получили общее число всех яблок, т. е. 5.

Пример 2. Сложить два числа: 4 и 2.

Решение:

Присчитаем к первому числу все единицы второго: к четырём единицам добавить ещё одну, получится пять единиц, к пяти прибавить единицу, получится шесть. Таким образом, мы из двух данных чисел 4 и 2 получили новое число 6, содержащее в себе четыре единицы первого числа и две единицы второго, т. е. столько единиц, сколько их было в обоих числах.

Числа, которые нужно сложить, называются слагаемыми , а результат сложения, т. е. число, получающееся от сложения, называется суммой .

Для записи сложения используется знак + (плюс). Он ставится между слагаемыми. Например, запись 2 + 5 означает, что складываются числа 2 и 5. Справа от записи сложения ставят знак = (равно), после которого записывают сумму:

Сложение представляет собой действие, которое всегда выполнимо, т. е. какие бы натуральные числа мы ни взяли в качестве слагаемых, всегда можно найти их сумму.

Основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного и , числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.

Сочетательное свойство сложения доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b и c не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c) и (a+b)+c можно записать как a+b+c . Это выражение называется суммой , а числа a, b и c - слагаемыми .

Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения , равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c и d не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d .

Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.

Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5 . Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.

Первый способ. На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.

Т.к. сумма чисел 1 и 3 равна 4 , значит:

1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4).

Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:

4+2+1+5=6+1+5.

Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:

6+1+5=7+5

И последний шаг, 7+5=12 . Т.о.:

1+3+2+1+5=12

Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.

Второй способ. Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5 .

Так как 1+3=4 , а 2+1=3 , то:

((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5

Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:

(4+3)+5=7+5.

И последний шаг: 7+5=12.

На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.

Свойства сложения натуральных чисел.

• Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу.

Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.

• При перестановке мест слагаемых сумма не меняется:

3 + 4 = 4 + 3 = 7 .

Это свойство сложения называется переместительным законом .

• Сумма 3-х и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.

Например: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12 ;

значит : a + (b + c) = (a + b) + c .

Поэтому вместо 3 + (7 + 2) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа по порядку, слева на право.

Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения .

• При прибавлении 0 к числу сумма равна самому числу.

3 + 0 = 3 .

И наоборот, при прибавлении числа к нулю, сумма равна числу.

0 + 3 = 3;

значит : a + 0 = a ; 0 + a = a .

• Если точка C разделяет отрезок АВ , то сумма длин отрезков AC и CB равна длине отрезка AB.

AB = AC + CB.

Если AC = 2 см а CB = 3 см,

то AB = 2 + 3 = 5 см .

Результат сложения двух или более чисел называется суммой , а сами числа - слагаемыми.

Сумма двух отрицательных чисел . Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком "минус". Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a .

Вычитание чисел

Результат действия называется разностью . Сами числа - уменьшаемое и вычитаемое .

Сложение положительного и отрицательного числа - это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

Например, - 8+3=- (8-3)=- 5; или -7+ 45=+ (45-7)=+ 38=38.

Умножение чисел

Результат умножения двух или более чисел называется произведением , а сами числа - множителями .

Умножить число а на b - значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a .

Например,

Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba .

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

2) Для любых натуральных a , b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba . Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

2) Для любых натуральных a , b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

3) При любых значениях a , b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.

Решение теста.

Решение теста.

Два «слагаемые» в ряд

Друг за дружкою стоят.

Вслед за ними знак «равно» -

Он известен нам давно.

Что в итоге получаем,

Словом «суммой» называем.

Назовите второе слагаемое. Два.

Найдите сумму чисел четыре и один. Сумма чисел четыре и один равна пяти.

Назовите каждое число в этой записи математическим «именем».

Слагаемое, слагаемое, сумма.

Сколько рыбок поймал старик? Шесть.

Сколько рыбок кот пытается съесть? Две.

Правильно. Шесть минус два равно – четыре.

- В математике число шесть в таких равенствах называют уменьшаемым, число два – вычитаемым , четыре – разностью .

Запись чисел «шесть минус два» читается: «Разность чисел шесть и два». Значит, число, которое уменьшают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, называется вычитаемым. Результат является разностью.

Хоть я у всех всё отнимаю,

Но это вовсе не беда.

Я роль свою ведь выполняю,

А это, верьте, не со зла.

Поэтому вы знать должны

что компоненты все важны.

Уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Назовите уменьшаемое. Восемь.

Найдите разность чисел шесть и один. Разность чисел шесть и один равна пяти.

Назовите числа в примере их математическим «именем».

Физкультминутка

Дунул ветер – полетели.

Мы летели, мы летели

И на землю тихо сели.

Ветер снова набежал

И листочки все поднял.

Закружились, полетели

И на землю тихо сели.

Актуализация знаний 3

4. Закрепление знаний

Вдруг шатёр

Распахнулся… и девица,

Шамаханская царица,

Вся сияя, как заря,

Тихо встретила царя.

Из какой сказки эти строки?

Правильно, «Золотой петушок».

У Васи было три книги. Ему подарили ещё 2 книги. Сколько книг стало у Васи? Правильно, пять. Запишите этот пример. Назовите первое слагаемое –три; второе слагаемое – два; сумму – пять.

○ ○ ○ ○ ● ● □ □ □ □ □ ■ ■ ■ ▲ ▲ ▲ ▼ ▼ ▼ ▼

4 + 2 = 5 + 3 = 3 + 4 =

Назовите первое и второе слагаемое и запишите, сколько получится в сумме.

Первое слагаемое – четыре, второе слагаемое два, сумма – шесть.

Первое слагаемое – пять, второе слагаемое – три, сумма – восемь.

Первое слагаемое – три, второе слагаемое – четыре, сумма – семь.

Уменьшаемое равно девяти, вычитаемое – двум. Запиши разность этих чисел и вычисли её.

Уменьшаемое равно четырём, вычитаемое – двум. Запиши разность и вычисли.

Запиши разность чисел пять и два и найди её значение.

В море плавало восемь золотых рыбок. Одна из них уплыла. Сколько рыбок осталось?

Верно, семь.

От восьми отнять один, будет семь.

На ветке сидело четыре синички. К ним прилетело ещё две. Сколько птиц стало?

Правильно, восемь. К четырём прибавить два, получится шесть.

На полянке сидело девять зайчиков. Двое из них побежали в лес. Сколько зайчиков осталось на полянке?

Правильно, семь. От девяти отнять два, равно семь.

Пять лодок у причала,

Волна их весело качала.

Три лодки взяли рыбаки,

Чтоб переплыть простор реки.

А сколько лодок у причала

Волна по-прежнему качала?

Верно, две.

От пяти отнять три равно – два.

4) Самостоятельная работа.

1< □ 2 < □ 3< □

6 < □ 7 < □ 5< □

Запиши справа число, больше данного на один.

Проверь себя.

1< 2 2<3 3<4

6<7 7<8 5<6

5 – 2= 5- 1- 1 = 2

Найди разность по образцу.

Проверь себя.

3 - 2 = 3 – 1 – 1 =1

6 - 2 = 6 - 1 – 1 = 4

7 - 2 = 7 – 1 – 1 =5

Мама-белка для детишек

Собрала десяток шишек.

Сразу все не отдала,

По одной всего дала:

Старшему - еловую,

Среднему – сосновую,

Младшему – кедровую.

(Сколько шишек осталось у мамы-белки?)

Проверь себя.

Начертите отрезок четыре сантиметра.

4) Задача на смекалку

В корзинке три яблока. Как поделить их между тремя царевнами так, чтобы одно яблоко осталось в корзинке?

Нужно отдать одно яблоко с корзинкой.

3 Подведение итогов

Узнали героя сказки А.С. Пушкина? Это Балда из сказки « Сказка о попе и работнике его Балде». Помогите ему разложить равенства в корзинки.

В первую корзинку нужно положить разности, а во вторую - суммы.

Надеюсь, после этого занятия вам захочется перечитать сказки А.С.

Пушкина. Они многому вас научат.

Сказки Пушкина в сердце живут,

Радость и свет всем детям несут!

Вновь помогут они нам с тобой

Восхититься волшебной страной!

Рефлексия

Продолжите фразу:

Я узнал …

Я умею …

Мне было трудно …

Выберите картинку, которая соответствует вашему настроению.