Что значит равные фигуры. Какие фигуры называются равными

Одним из основных понятий в геометрии является фигура. Под этим термином подразумевается множество точек на плоскости, ограниченное конечным числом линий. Некоторые фигуры могут рассматриваться как равные, что тесно связано с понятием движения. Геометрические фигуры могут рассматриваться не изолированно, а в том или ином соотношении друг с другом – их взаимное расположение, соприкосновение и прилегание, положение «между», «внутри», соотношение, выраженное в понятиях «больше», «меньше», «равно».Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Равновеликие и равносоставленные фигуры

Какие фигуры называются равными?

Равными называют фигуры , которые совпадают при наложении.

Частой ошибкой на этот вопрос является ответ, в котором упоминаются равные стороны и углы геометрической фигуры. Однако при этом не принимается в учет, что стороны геометрической фигуры не обязательно бывают прямыми. Поэтому только совпадение геометрических фигур при наложении может быть признаком их равенства.

На практике это легко проверить с помощью наложения, они должны совпасть.

Все очень просто и доступно, обычно равные фигуры видно сразу.

Равными называются те фигуры, у которых совпадают параметры геометрии. Эти параметры: длина сторон, величина углов, толщина.

Проще всего понять что фигуры равны можно с помощью наложения. Если величины фигур одинаковы - их называют равными.

Равными называют только те геометрические фигуры, которые имеют абсолютно одинаковые параметры:

1) периметр;

2) площадь;

4) размеры.

То есть, если одну фигуру наложить на другую, то они совпадут.

Ошибочно полагать, что если фигуры имеют одинаковые периметр или площадь, то они равны. На самом деле, геометрические фигуры, у которых равна площадь называются равновеликими.

Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении друг на друга.Равные фигуры имеют одинаковые размеры, форму, площадь и периметр. А вот равные по площади фигуры могут быть и не равными между собой.

В геометрии, по правилам, равные фигуры должны иметь одинаковую площадь и периметр, то есть у них должны быть абсолютно одиноковые формы и размеры. И они должны полностью совпадать при их наложении друг на друга. Если же есть какие-то расхождения, то эти фигуры уже нельзя будет назвать равными.

Фигуры можно назвать равными при условии, если они полностью совпадают при наложении друг на друга, т.е. они имеют одинаковые размеры, форму и следовательно площадь и периметр, а также другие характеристики. В противном случае говорить о равности фигур нельзя.

В самом слове равные заложена суть.

Это фигуры которые полностью идентичные друг другу. То есть полностью совпадают. Если фигуру положить одну на одну тогда фигуры будут перекрывать себя со всех сторон.

Они одинаковые то есть равные.

В отличие от равных треугольников (для определения которых достаточно выполнения одного из условий - признаков равенства), равными фигурами называют такие, которые имеют одинаковую не только форму, но и размеры.

Определить, равна ли одна фигура другой, можно методом наложения. При этом фигуры должны совпасть и сторонами и углами. Это и будут равные фигуры.

Равными могут быть только такие фигуры, которые при их наложении полностью совпадут сторонами и углами. На самом деле для всех простейших многоугольников равенство их площади свидетельствует и о равенстве самих фигур. Пример: квадрат со стороной а всегда будет равен другому квадрату с той же стороной а. Тоже касается и прямоугольников и ромбов - если их стороны равны сторонам другого прямоугольника, они равны. Более сложный пример: треугольники будут равными, если у них равны стороны и соответствующие углы. Но это только частные случаи. В более общих случаях, равенство фигур доказывается все-таки наложением, а это наложение в планиметрии высокопарно именуют движением.

1.Отрезок прямой - часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок - это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). У отрезка есть и начало, и конец. Отрезок обозначается или отрезок AB.

Точки A и B называются концами отрезка . Все остальные точки называются внутренними точками отрезка.

Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают |AB| .

Все точки отрезка лежат на одной прямой, проходящей через его концы.

2. Через две данные точки находящихся в одной плоскости можно провести одну прямую линию.Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну

3. Если две прямые пересекаются, то они имеют одну точку, а если прямые параллельные, то ни одной! Две прямые пересекаются т. е., имеют только одну общую точку,.Определение точки пересечения прямых : точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.

4.Что такое луч и что такое полуплоскость? луч это часть прямой,имеющая начало,но не имеющая конца и имеет направление

Если провести прямую и отметить на ней точку О,то она разделит прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (эти лучи называются дополнительными). Точка О называется началом луча. Лучом называется часть прямой, состоящая из всех точек, которые лежат по одну сторону от фиксированной точки прямой , и самой этой точки, называемой началом луча . Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными . Аксиома . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Т.е. Любая прямая разделяет плоскость на две части, каждая из которых называется полуплоскостью, а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей

5. Углом наз ывается часть плоскости ограниченная двумя лучами. Сами лучи называются сторонами угла, а общая точка, из которой лучи выходят, называется вершиной угла. Угол - это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Вершина угла - точка, из которой исходят лучи. Сторона угла - один из этих лучей 6. Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла. (Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными ) . Развернутый угол - это угол, стороны которого лежат на одной прямой. Например АОВ.

7. Что означают слова: «луч делит угол на два угла»? когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Луч ОС делит угол АОВ пополам.

8. Какие фигуры называются равными?

Фигуры, которые совпадают при наложении называются РАВНЫМИ. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении

9. объясните, как сравнить два отрезка и как сравнить 2 угла. Один отрезок накладываешь на другой чтобы конец первого совместился с концом второго, если при этом другие два конца не совместились значит отрезки не равны, если совместились то равны. Чтобы сравнить 2 отрезка нужно сравнить их длины, чтобы сравнить 2 угла надо сравнить их градусную меру, Два угла называются равными, если их можно совместить наложением. Чтобы установить, равны есть два неразвернутых углы или нет, необходимо совместить сторону одного угла со стороной вторым таким образом, чтобы две другие стороны оказались по одну сторону от совмещенных сторон .Наложить один угол на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона одного угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. (Наложи углы так чтобы сторона одного совместилась со стороной др., а две др. оказались по одну сторон от совместившихся сторон. если две др стороны совместятся то углы полностью совместятся а значит они равны.)

10.Какая точка называется серединой отрезка? Середина отрезка-это точка, которая делит данный отрезок на две равные части. Точка делящая отрезок пополам называется серединой отрезка.

11. Биссектрисой (от лат. bi- «двойное» и sectio «разрезание») угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Или луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла называют биссектрисой угла.

12.Как производится измерение отрезков. Измерить отрезок, соизмеримый с единицей – это значит узнать, сколько раз в нем содержится единица или какая-нибудь доля единицы. Измерение отрезка осуществляется посредством сравнения его с некоторым отрезком, принятым за единицу. Измерять длину отрезка можно с помощью линейки или измерительной ленты. Нужно наложить один отрезок на другой,который мы приняли за единицу измерения, чтобы их концы совместились.

? 13. Как связаны между собой длины отрезков AB и CD, если: а) отрезки AB и CD равны; б) отрезок AB меньше отрезка CD?

А) длины отрезков AB и CD равны. Б) длина отрезка АВ меньше длины отрезка CD.

14. Точка C делит отрезок AB на два отрезка. Как связаны между собой длины отрезков AB, AC и CB? Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков AC и CB. Чтобы найти длину отрезка AB надо сложить длины отрезков AC и CB.

15. Что такое градус? Что показывает градусная мера угла ? Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус) . Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус - угол, равный 1/180 части развернутого угла. Градус - единица измерения плоских углов в геометрии. (В качестве единицы измерения геометрических углов принят градус – часть развернутого угла.) .

Градусная мера угла показывает, сколько раз градус и его части - минута и секунда - укладываются в данном угле, то есть градусная мера - величина, отражающая количество градусов, минут и секунд между сторонами угла.

16. Какая часть градуса называется минутой, а какая – секундой? 1/60 часть градуса называется минутой, а 1/60 часть минуты - секундой. Минуты обозначают знаком «′», а секунды - знаком «″»

? 17. Как связаны между собой градусные меры двух углов, если: а) эти углы равны; б) один угол меньше другого? а) градусная мера углов одинакова. б) Градусная мера одного угла меньше градусной меры второго угла.

18. Луч OC делит угол AOB на два угла. Как связаны между собой градусные меры углов AOB, AOC иCOB? Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.Градусная мера угла AOB равна сумме градусных мер его частей AOC иCOB.

серединой отрезка?

Какой луч называется биссектрисой угла?

что такое градусная мера угла?

биссектрисой треугольника?Какой отрезок называют высотой треугольника?Какой треугольник называется равнобедренным?Какой треугольник называется равносторонним?Что такое окружность? Определение радиуса, диаметра, хорды.Дайте определение параллельных прямых.Какой угол называется внешним углом треугольника?Какой треугольник называется остроугольным, какой треугольник называется тупоугольным, какой прямоугольным. Как называются стороны прямоугольного треугольника?Свойство двух прямых, параллельных третьей.Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных прямых.Свойство двух прямых перпендикулярных к третьей

Объясните какая ломанная называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым?
Объясните какие углы называются выпуклыми углами многоугольника. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника. ВЗЯТЫХ по одному прикаждой вершине, равна 360 градусов.
Чему равна сумма углов выпукого четырехугольника?

2)Что такое вершины,углы стороны диагонали периметр четырехугольника?
3)Какие углы стороны четырехугольник называется выпуклым?
4)чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
5)какой четырех угольник называется выпуклым?
6)какой четырех угольник называют параллелограмм?
7)какими свойствами обладает параллелограмм?
8)назовите признаки параллелограмма.
9)сформулируйте свойства прямоугольника.
10)какой четырехугольник называется квадратом?
11)сформулируйте свойства ромба.
12)какой четырехугольник называется ромбом?
13)какой четырехугольник называется прямоугольником?
14)какими свойствами обладает квадрат? ответьте пожалуйста кратко...

называется треугольником.
2. Что такое периметр треугольника?
3. Какие треугольники называются равными?
4. Что такое теорема и доказательство теоремы?
5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.
6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?
9. Какой треугольник называется равнобедренным?
10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?
11. Какой треугольник называется равносторонним?
12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
17. Дайте определение окружности.
18. Что такое центр окружности?
19. Что называется радиусом окружности?
20. Что называется диаметром окружности?
21. Что называется хордой окружности?

Геометрические фигуры считаются равными, если они являются точной копией друг друга, то есть должны выполняться следующие условия:

1. фигуры имеют одинаковую форму;
2. у фигур одинаковые размеры;
3. существует такое наложение (движение) одной фигуры на другую, что они совпадают во всех своих точках.

Что значит одинакова форма фигур

Говоря о форме фигуре, подразумевается в первую очередь класс геометрических фигур, а так же количество углов, направление выпуклостей (вогнутостей) и прочие визуальные детали контура плоской фигуры.

Например, овал и прямоугольник имеют явно различную форму. А если взять фигуры одного класса, допустим 2 треугольника, то нужно сравнить элементы, составляющие контур. В данном случае речь идет об углах и сторонах. Так, если у одного треугольника есть прямой угол, а у другого нет, то сразу заметно - они имеют различную форму. Если длины трех сторон одного треугольника не сильно отличаются друг от друга, а у другого одна сторона значительно больше двух других, мы тоже с первого взгляда заметим, что их формы различны.

Почему важно совпадение размеров фигур

Что, если отличия в размерах визуально мало заметны? Тогда необходимо произвести точные замеры обоих фигур. Также равенство размеров разделяет понятия подобных и равных фигур. К примеру, 2 квадрата с разной площадью будут подобными, но не равными (имеется ввиду, когда один больше другого).

Что понимается под «наложением» фигур друг на друга

Иногда сделать точные замеры сложно. Особенно, если фигура образована замкнутой произвольной кривой или ломаной линией. Тогда нужно найти способ, чтобы наложить одну фигуру на другую.

Так, если они нарисованы на листе бумаги, нужно вырезать одну из них точно по контуру и положить поверх другой. Можно ее поворачивать в любом направлении и даже переворачивать. Если найдется способ совместить эти фигуры так, чтобы они совпали точно по контурам, значит они равны.

Всегда ли можно доказать равенство фигур

Иногда сделать это не возможно. Например, если речь идет о прямых. Все они бесконечны. То же касается и лучей.

Равными называются такие фигуры, которые можно совместить, воспользовавшись каким-либо видом движения (центральная и осевая симметрия, поворот и параллельный перенос).

В таких фигурах все стороны и углы соответственно равны.

Например, если даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, то они равны в том случае, если соблюдается равенство сторон (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) и углов (угол A = угол A₁, угол B = угол B₁, угол C = угол C₁).

Также в равных фигурах равны и соответствующие точки и линии. Например, в тех же равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ будут равны биссектрисы, медианы, высоты, радиусы вписанной и описанной окружностей, центроиды и т.д.