- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.
Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла
Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.
По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).
Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.
Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:
- tg(a) = 1/ctg(a),
- ctg(a) = 1/tg(a).
Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.
Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.
Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.
Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 .
Разделив почленно получаем:
- 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .
Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k.
Да, конечно. Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества.
Вот они:
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image255.png)
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image256.png)
Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image257.png)
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image258.png)
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image259.png)
В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:
Найти значение sinx, если х - острый угол, а cosx=0,8.
Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ну и считаем, как обычно:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.
Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.
Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол...
А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.
Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все
тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные.
Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.
Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°... И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом...
А вот старшеклассникам без учёта знака - никак. Многие знания умножают печали, да...) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image260.png)
Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.
Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.
Итак, отметим самое главное:
Практические советы:
1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.
2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.
3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.
А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно...)
1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.
2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.
3. Найти значение выражения:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
4. Найти значение выражения:
(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3
5. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.
Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)
Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ - лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)
6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/megalektsiiru/baza7/2157725122504.files/image260.png)
7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°).
8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.
Ответы (в беспорядке):
0,8; 0,5; -2,4.
Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно... А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили - одно верное задание "В" гарантировано!
В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы...
Например, если угол х
(смотрите вторую картинку на этой странице) - сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы... Пропал синус...
Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций - ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились - в следующем уроке.
1. Выражение синуса через косинус
Примечание:
Знак перед радикалом в правой части зависит от того, в какой четверти находитсяугол α
. Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
2. Выражение синуса через тангенс
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image370.gif)
3. Выражение синуса через котангенс
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image372.gif)
4. Выражение косинуса через синус
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image374.gif)
5. Выражение косинуса через тангенс
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image376.gif)
6. Выражение косинуса через котангенс
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image378.gif)
7. Выражение тангенса через синус
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image380.gif)
8. Выражение тангенса через косинус
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image382.gif)
9. Выражение тангенса через котангенс
10. Выражение котангенса через синус
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image386.gif)
11. Выражение котангенса через косинус
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image388.gif)
12. Выражение котангенса через тангенс
21. Тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, их свойства и графики.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image392.jpg)
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
График функции y=cos(x).
![](https://i1.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image394.jpg)
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
22. Тригонометрические функции y=tg x, y=ctg x, их свойства и графики.
График функции y=tg(x).
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image396.jpg)
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783774782.files/image398.jpg)
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
23. Основные свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.
Синусом
числа а
называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а
радиан называется синус числа а
.
Синус
- функция числа x
. Ее область определения
- множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений синуса
- отрезок от -1
до 1
, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период синуса
равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак синуса:
1. синус равен нулю при , где n
- любое целое число;
2. синус положителен при , где n
- любое целое число;
3. синус отрицателен при